Feb 16 2012

Dalle Osservabili GPS al TEC > Equazioni di osservazione fondamentali [Capitolo 3.1]

Il codice C/A, P, o Y trasmesso dal satellite k al tempo t^k e registrato dal ricevitore i al tempo t_i, è definito come

P_{i}^{k} = c(t_i-t^k) = c\tau_{i}^{k}  (3.1)

dove

P_{i}^{k}          denota il codice di osservazione (pseudorange), espresso in unità di lunghezza,

t_i         è l’istante di arrivo del segnale, misurato all’orologio del ricevitore i

c         è la velocità della luce nel vuoto,

t^k         è l’istante di trasmissione del segnale, misurato nel sistema di riferimento temporale del satellite k, e

\tau_{i}^{k} = t_i-t^k         è il tempo di viaggio del segnale a meno di errori di orologio del satellite e del ricevitore.

Infatti, tenendo conto di questi fattori, il codice di osservazione P_{i}^{k} può essere messo in relazione con il range \rho_{i}^{k}, la distanza geometrica tra il ricevitore i al tempo t_i-\Delta t_i ed il satellite k al tempo t^k-\Delta t^k ed ai ritardi dovuti all’atmosfera terrestre, agli strumenti e aleatori:

P_{i}^{k} = \rho_{i}^{k}+c(\Delta t_i - \Delta t^k)+ \Delta\rho_{i,trop}^{k}+\Delta\rho_{i,ion}^k+c(b^k+b_i)+\epsilon  (3.2)

dove

\Delta t_i, \Delta t^k          sono le deviazioni degli orologi del ricevitore e del satellite rispettivamente, nel riferimento temporale GPS,

\Delta\rho_{i,trop}^{k}          è il ritardo del segnale dovuto alla troposfera,

\Delta\rho_{i,ion}^k            è il ritardo del segnale dovuto alla ionosfera,

b^{k}, b_{i}           sono i ritardi del satellite e del ricevitore dovuti all’elettronica (o hardware) espressi in unità di tempo, e

\epsilon           indica un errore di natura casuale (residuo).

Il termine \rho_{i}^{k} include anche effetti relativistici, ad esempio l’effetto relativistico periodico dovuto all’eccentricità delle orbite dei satelliti e la rifrazione dovuta al campo gravitazionale [22]. Inoltre, si deve tener conto delle variazioni di centro di fase d’antenna [11].

E’ opportuno ricordare che l’istante della misura è l’istante di ricezione del segnale al ricevitore. L’istante della misura è identico per le misure di fase e di range ed è identico per tutti i satelliti osservati a tale epoca. Si esprime in tempo GPS [23].

Entrambi i ritardi b^k, b_i vengono normalmente ignorati o si assume che siano nulli, poiché non è possibile separarli dalle asincronie \Delta t_i e \Delta t^k. Di conseguenza,

le deviazioni d’orologio compensano implicitamente i ritardi da elettronica.

Dal momento che i ritardi dei satelliti sembrano essere relativamente stabili nel tempo, si possono assumere come indipendenti dal tempo. Ciò non vale per i ritardi dei ricevitori che hanno modesti orologi al quarzo, tuttavia ad ogni determinazione di punto viene determinato anche l’errore di scala di tempo, quindi si assume che anche questi siano indipendenti dal tempo.

Il multipath è, come già detto (capitolo 2), una notevole fonte di errore nel GPS. Il multipath è un effetto sistematico quando considerato lungo un intervallo temporale di molti minuti in un sistema di riferimento statico, può essere quindi considerato come una misura di rumore su lunghi periodi [11] e non è stato perciò inserito nella precedente equazione di osservazione (3.2).

Assumendo una risoluzione relativa dell’uno per cento nelle misure della lunghezza di codice (Mbps) e della lunghezza d’onda, rispettivamente, si ottiene una incertezza di 3 metri per il codice C/A, 0.3 metri per il codice P e circa 2 millimetri per le misure di fase della portante. Questi ordini di grandezza rivelano che per le applicazioni di alta precisione del GPS,

la fase della portante è l’osservabile principale.

La fase in cicli è il range diviso la lunghezza d’onda, quindi è opportuno scrivere l’equazione di osservazione per la fase della portante L_{i}^{k} espressa in unità di lunghezza:

L_{i}^{k} = \rho_{i}^{k}+c(\Delta t_i - \Delta t^k)+ \Delta\rho_{i,trop}^{k}+\Delta\rho_{i,ion}^k+\lambda B_{i}^{k}+\epsilon  (3.3)

dove

\lambda è la corrispondente lunghezza d’onda

B_{i}^{k} denota un bias costante, espresso in cicli, contenente principalmente l’ambiguità di fase iniziale N_{i}^{k}.

Se vengono individuate le discontinuità nelle osservazioni di fase (cycle-slips), le quali non possono essere corrette, devono essere considerati dei parametri di scarto addizionali B_{i}^{k}.

Le equazioni (3.2, 3.3) appena viste rappresentano le equazioni di osservazione GPS fondamentali.

Tali equazioni rivelano il potenziale interdisciplinare del GPS [24]:

  • La distanza \rho_{i}^{k} contiene l’informazione “geometrica”, la quale permette di ricavare le posizioni del ricevitore, le orbite dei satelliti, le variazioni di centro di fase d’antenna, etc.
  • I termini \Delta t^{k}, \Delta t_{i} contengono l’informazione relativa agli orologi del ricevitore e del satellite, rendendo possibili le trasmissioni del segnale orario e delle frequenze fino a distanze intercontinentali [25].
  • I termini \Delta\rho_{i,trop}^{k} e \Delta\rho_{i,ion}^{k} contengono informazione sull’atmosfera.

Siccome la ionosfera è un mezzo dispersivo, la rifrazione ionosferica dipende dalla frequenza del segnale. In particolare, la rifrazione ionosferica è proporzionale a 1/\nu^{2}, dove \nu è la frequenza della portante, trascurando termini di ordine maggiore molto piccoli. Le equazioni di osservazione per il set di osservazioni fornite da un ricevitore geodetico GPS a doppia frequenza possono essere semplificate per mezzo di una notazione dipendente dalla frequenza sostituendo:

\rho_{i}^{k}+c(\Delta t_{i}-\Delta t^{k})+\Delta \rho_{i,trop}^{k}={\rho'}_{i}^{k} (3.4)

e inoltre introducendo la variabile ionosferica I_{i}^{k}, che rappresenta il ritardo ionosferico relativo alla prima frequenza \nu_{1}:

ritardo ionosferico
dove

L_{i,1}^{k},\;L_{i,2}^{k}        sono le osservazioni di fase della portante per entrambe le frequenze,

P_{i,1}^{k},\;P_{i,2}^{k}        sono le osservazioni di codice P per entrambe le frequenze,

{\rho'}_{i}^{k}         è la distanza geometrica tra il ricevitore i ed il satellite k comprensiva delle asincronie \Delta t_{i} e \Delta t^{k} e della rifrazione troposferica \Delta \rho_{i,trop}^{k},

\xi=\nu_{1}^{2}/\nu_{2}^{2}\approx 1.647          è un fattore che dipende dal rapporto \nu_{1}/\nu_{2}=77/60, delle frequenze utilizzate dal GPS,

I_{i}^{k}           è la rifrazione ionosferica per epoca, relativa a L_{1}, espressa in unità di lunghezza,

B_{i,1}^{k},\;B_{i,2}^{k}           sono i parametri di ambiguità di fase per entrambe le frequenze.

In principio, i termini per i ritardi strumentali c(b^{k,1}+b_{i,1}) e c(b^{k,2}+b_{i,2}) sono ancora presenti nelle equazioni di osservazione (3.7) e (3.8). A parte questi termini, le osservazioni di codice, al contrario delle osservazioni di fase, sono prive di ambiguità. Le osservazioni di fase sono dai due ai tre ordini di grandezza più accurate delle osservazioni di codice.

Per questioni di semplicità, l’errore nelle osservazioni di codice e fase (3.2, 2.2) inizialmente indicato con il termine \epsilon non verrà più incluso nelle equazioni di osservazione (3.5, 3.6, 3.7, 3.8),e nelle successive. Confrontando le equazioni (3.5, 3.6, 3.7, 3.8) , si nota che l’avanzamento di fase e il ritardo di gruppo causate dalla rifrazione ionosferica \Delta\rho_{i,ion}^{k} sono uguali ma di segno opposto.

Infatti, come evidenziato nel capitolo 1 (Eq.1.15),

il mezzo dispersivo ionosferico produce un accorciamento od un allungamento apparente della distanza ricevitore-satellite (range-delay positivo o negativo) per l’avanzamento di fase od il ritardo di gruppo rispettivamente.

E’ uno standard IGS registrare le osservazioni da GPS ogni 30 secondi. Per applicazioni particolari, come applicazioni cinematiche, è necessario un intervallo di campionamento più breve (risoluzione temporale maggiore).

***

[11] Ahmed el-Rabbany, 2002. Introduction to GPS, The Global Positioning System, Artech House.

[22] Rothacher, M., 1992. Orbits of satellite systems in space geodesy, vol. 46 of Geodaetisch-geophysikalische Arbeiten in der Schweiz, Schweizerische Geodaetische Kommission, Ph.D. thesis.

[23] RINEXv2.10, 2001. http://www.ngs.noaa.gov/CORS/rinex210.txt.

[24] Beutler, G., M. Rothacher, S. Schaer, T. A. Springer, J. Kouba, and R. E. Neilan, 1998. The International GPS Service (IGS): An Interdisciplinary Service in Support of Earth Sciences, Advances in Space Research.

[25] Schildknecht, T., G. Beutler, W. Gurtner and M. Rothacher, 1990. Nanoseconds GPS time transfer using precise geodetic processing techniques, Proceedings of the ION GPS-90, pp.149-157.

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