Feb 17 2012

Osservabili GPS > Combinazioni lineari [Capitolo 3.2]

La varietà delle applicazioni GPS implica la determinazione di diverse combinazioni delle osservabili. Ogni combinazione permette di eliminare un certo tipo di ritardo o di effetto in modo da ottenere la informazione desiderata. Si illustrano le combinazioni più popolari.

 
GPS differenziale

La mitigazione degli errori di misura nell’ambito del posizionamento può essere semplificata: gli errori associati alle fonti di errori più ragguardevoli (di orologio, di effemeride e propagazione atmosferica) sono simili per ricevitori posti non molto lontani gli uni dagli altri, e cambiano lentamente nel tempo. In altri termini,

gli errori sono correlati sia spazialmente che temporalmente.

Chiaramente, possiamo stimare l’errore in una misura se la posizione del ricevitore è nota. Tali stime degli errori possono essere utilizzate come correzioni differenziali se messe a disposizione agli utenti GPS nelle vicinanze, permettendo la riduzione degli errori nelle misure di posizione (e di VTEC).

Questo è il GPS differenziale (DGPS) [16].

La differenza di due osservazioni di fase (o codice) acquisite quasi simultaneamente dal satellite k ai ricevitori i e j

L_{ij}^{k}=L_{i}^{k}-L_{j}^{k}  (3.9)

elimina quasi completamente le asincronie di orologio del satellite \Delta t^k e non contiene il ritardo strumentale b^k. Le differenze di questo tipo sono chiamate differenze singole. Contengono ancora le deviazioni di orologio del ricevitore e sono quindi adatte alla trasmissione del segnale orario.

La differenza di due differenze singole quasi simultanee dai satelliti k e l

L_{ij}^{kl}=L_{ij}^{k}-L_{ij}^{l}=(L_{i}^{k}-L_{j}^{k})-(L_{i}^{l}-L_{j}^{l})  (3.10)

non contiene le asincronie di orologio \Delta t_i e \Delta t_j e i ritardi da elettronica b_i e b_j. Differenze di questo tipo vengono chiamate doppie differenze. Le equazioni di osservazione fondamentali sono anche dette zero differenze.

Dalle doppie differenze vengono di conseguenza ricavate delle equazioni di osservazione, equazioni di osservazione alle doppie differenze:

Equazioni alle Doppie Differenze
dove

{\rho'}_{ij}^{kl}=\rho_{ij}^{kl}+\Delta \rho_{ij,trop}^{kl} rappresenta il termine geometrico doppiamente differenziato, con \rho_{ij}^{kl} distanza geometrica e rifrazione troposferica \Delta \rho_{ij,trop}^{kl} e,

N_{ij,1}^{kl}, N_{ij,2}^{kl} sono i parametri di ambiguità di fase per entrambe le frequenze, espresse in cicli.

I parametri N_{ij}^{kl} sono relativi a coppie di satelliti e coppie di ricevitori, sono di natura intera poiché sono state eliminate le asicronie di orologio \Delta t ed i ritardi strumentali b.

 
Combinazione lineare libera da ionosfera (Ionosphere free)

Si può verificare che la combinazione lineare delle osservabili di base a doppia frequenza di fase (o codice)

L_3=\kappa_{1,3}L_{1}+\kappa_{2,3}L_{2}  (3.15)

con i coefficienti

coefficienti k
dove \nu_{1} e \nu_{2} sono le frequenze delle L_{1} e L_{2} rispettivamente, elimina i termini di rifrazione ionosferica I e \xi I presenti nelle equazioni di osservazione a doppia-differenza e zero-differenza. L_3 viene perciò chiamata osservabile libera da ionosfera (*).

Formando la combinazione lineare libera da ionosfera partendo dalle equazioni non differenziate (3.5, 3.6, 3.7, 3.8), tenendo conto della (3.4), si ricavano le equazioni di osservazioni alle doppie differenze
doppie differenze Ionosfera
dove

\lambda_{3}=c/(\nu_{1}+\nu_{2})\approx 107\;mm è la cosiddetta lunghezza d’onda narrow-lane e

B_{ij,3}^{kl} è un parametro di ambiguità non intero contenente i N_{ij}^{kl}

Dal momento che sono disponibili orbite GPS di eccellente accuratezza, il termine di rifrazione troposferica, incluso nel termine {\rho'}_{ij}^{kl}, è la sorgente di errore limitante nell’uso del GPS a scopo geodetico, sempre che siano disponibili dati a doppia frequenza.

 
Combinazione lineare libera da geometria (Geometry free)

Sottraendo l’osservabile di fase (o codice) della seconda frequenza da quella della prima, entrambe espresse in unità di lunghezza, il termine geometrico, deviazioni di orologio e ritardo troposferico vengono eliminati. La combinazione lineare

L_4=L_1-L_2=\kappa_{1,4}L_{1}+\kappa_{2,4}L_{2}  (3.20)

con \kappa_{1,4}=+1 e \kappa_{2,4}=-1, contiene la rifrazione ionosferica, parametri di ambiguità e ritardi da elettronica.

Questa combinazione lineare è fondamentale per ottenere informazioni sullo STEC all’interno della ionosfera. Ripetendo il procedimento visto per le combinazioni libere da ionosfera, si ottengono le equazioni non differenziate

Geometry Free non differenziate
dove

\xi_{4}=1-\xi \approx -0.647 è il fattore che converte il ritardo ionosferico per L_{4} in quello per la prima frequenza,

B_{i,4}^{k}=\lambda_{1}B_{i,1}^{k}-\lambda_{2}B_{i,2}^{k} è un parametro di ambiguità con una lunghezza d’onda non definita, in unità di lunghezza,

\Delta b^{k}=b^{k,1}-b^{k,2} è il ritardo differenziale inter-frequenza strumentale chiamato generalmente ritardo di codice differenziale (DCB) del satellite k,

\Delta b_{i}=b_{i,1}-b_{i,2} è il DCB del ricevitore i

e da queste si ricavano le corrispondenti equazioni di osservazione alle doppie differenze :

Geometry Free doppie differenze
dove

B_{ij,4}^{kl}=\lambda_{1}N_{ij,1}^{kl}-\lambda_{2}N_{ij,2}^{kl}  (3.25)

Si noti che non compaiono DCBs né di satellite né di ricevitore nella (3.24), avendo operato una doppia differenza delle osservazioni di codice libere da geometria.

Inoltre, se i parametri di ambiguità differenziali N_{ij,1}^{kl} e N_{ij,2}^{kl} nella (3.23) vengono fissati come interi, il termine B_{ij,4}^{kl} è noto. Di conseguenza, nel caso in cui venga risolto il problema delle ambiguità,

il parametro incognito I_{ij}^{kl}, il quale rappresenta il ritardo ionosferico doppiamente differenziato sulla L_1, viene determinato con un’accuratezza di pochi millimetri.

La determinazione della ionosfera assoluta è un problema la cui soluzione è tutt’altro che immediata, nonostante la disponibilità di dati a doppia frequenza.

***

[16] Misra, P., Per Enge, 2001. GLOBAL POSITIONING SYSTEM, Signals, Measurements, and Performance, Ganga-Jamuna Press.

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